Чиликин — воспитанник самарского баскетбола, выступал за «Самару» с момента возрождения команды в 2012 году.

За 7 сезонов Алексей принял участие в 197 матчах Высшей лиги и Суперлиги, а также Кубка России, в которых набрал 956 очков и 639 подборов.

Чиликину принадлежат рекорды клуба (в новейшей истории) по сыгранным матчам и подборам.

Кроме того, Алексею принадлежит абсолютный рекорд «Самары» по подборам в одном матче (22) В июле 2018 года Алексей перешёл в «Уралмаш», но в октябре подписал контракт со «Спартаком-Приморье», рассчитанный на 2 месяца. 

В ноябре 2019 года Чиликин вернулся в «Самару», в августе этого же года стал игроком «Барнаула» 

Достижения:

Серебряный призёр Суперлиги-1 в сезоне 2017/2018

Победитель Суперлиги-2 в сезоне 2019/2020