Алексей Вздыхалкин начинал свою баскетбольную карьеру в Ставрополе. Из «Локомотив-Кубань» перешел в «Рускон-Мордовию», где выступал 5 сезонов. Позже играл за «Нижний Новогород» и «Рязань».
Вздыхалкин играл в «Автодоре» и помог саратовской команде стать чемпионом Суперлиги 2013/2014, а также получить путёвку в Единую лигу ВТБ. При этом сам Алексей был включён в символическую пятёрку турнира как «Лучший атакующий защитник»
Позже Алексей выступал за клубы «Енисей», «Парма», «Спартак-Приморье». Сезон 2021/2022 начинал вместе с ижевской командой «Купол-Родники».